STAT 400 Lecture AL1 4 2 Answers for 4 2 Spring 2015 Dalpiaz Covariance and Correlation Coefficient Covariance of X and Y XY Cov X Y E X X Y Y E X Y X Y a Cov X X Var X b Cov X Y Cov Y X c Cov a X b Y a Cov X Y d Cov X Y W Cov X W Cov Y W Cov a X b Y c X d Y a c Var X a d b c Cov X Y b d Var Y Var a X b Y Cov a X b Y a X b Y a 2 Var X 2 a b Cov X Y b 2 Var Y 0 Find in terms of X2 Y2 and XY a Cov 2 X 3 Y X 2 Y Cov 2 X 3 Y X 2 Y 2 Var X Cov X Y 6 Var Y b Var 2 X 3 Y Var 2 X 3 Y Cov 2 X 3 Y 2 X 3 Y 4 Var X 12 Cov X Y 9 Var Y c Var X 2 Y Var X 2 Y Cov X 2 Y X 2 Y Var X 4 Cov X Y 4 Var Y Correlation coefficient of X and Y XY X Y XY X Cov X Y X E Var X Var Y X Y Y Y a 1 XY 1 b XY is either 1 or 1 if and only if X and Y are linear functions of one another If random variables X and Y are independent then E g X h Y E g X E h Y Cov X Y XY 0 1 Corr X Y XY 0 Consider the following joint probability distribution p x y of two random variables X and Y y x 0 1 2 pX x 1 0 15 0 10 0 0 25 2 0 25 0 30 0 20 0 75 pY y 0 40 0 40 0 20 1 00 Find Cov X Y XY and Corr X Y XY Cov X Y XY 1 5 1 75 0 8 0 10 E X 2 1 0 25 4 0 75 3 25 Var X E X 2 E X 2 3 25 1 75 2 0 1875 E Y 2 0 0 40 1 0 40 4 0 20 1 2 Var Y E Y 2 E Y 2 1 2 0 8 2 0 56 Recall E X 1 75 E Y 0 8 E X Y 1 5 Corr X Y XY 0 10 0 1875 0 56 0 3086 2 Let the joint probability density function for X Y be 2 f x y 60 x y 0 x 1 0 y 1 x y 1 0 otherwise Find Cov X Y XY and Corr X Y f X x 30 x 2 1 x 2 Recall f Y y 20 y 1 y 3 Cov X Y XY 3 1 42 9 252 8 252 0 x 1 0 y 1 1 1 1 1 7 2 3 42 XY E X E Y Var X 1 2 1 3 9 252 E X Y Var Y 1 2 0 7071 2 2 Let the joint probability density function for X Y be x y 0 x 1 0 y 1 otherwise 0 f x y Find Cov X Y XY and Corr X Y Recall 1 2 f X x x 0 x 1 XY 1 2 f Y y y 0 y 1 8 252 1 7 E X Y x y x y dx dy 2 2 x y x y dx dy 11 11 00 00 1 2 y y dy 1 3 2 3 0 Cov X Y 4 1 1 7 7 3 12 12 144 XY 11 144 11 144 1 11 Let the joint probability density function for X Y be f x y 12 x 1 x e 2 y 0 0 x 1 y 0 otherwise Find Cov X Y XY and Corr X Y Recall 1 144 XY f X x 6 x 1 x 0 x 1 f Y y 2 e 2 y y 0 Since X and Y are independent Cov X Y XY 0 Corr X Y XY 0
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