2 5 Consider two continuous random variables X and Y with joint p d f C xy3 f X Y x y 0 a 0 x 1 0 y x 2 otherwise Find the value of C so that f x y is a valid joint p d f x2 1 C x y 3 dy dx 0 0 1 1 2 C 4 y x x y dx 4 y 0 0 1 0 b C 9 C 10 1 C x dx x 0 40 4 40 C 40 Find P 5 Y 4 X P 5 Y 4 X P Y 0 80 X x2 3 40 x y dy dx 0 80 0 80 x 1 1 0 80 x dx 10 x y 0 80 1 y 0 80 x and y x x 0 80 10 x 9 4 x2 4 096 x 5 dx 0 80 2 256 6 1 x 10 x 0 3889 375 0 80 OR 0 80 1 25 y 1 40 x y dx dy 0 64 0 80 y 3 1 3 40 x y dx dy y OR x2 1 3 40 x y dy dx 0 80 0 0 0 80 1 0 80 x 3 40 x y dy dx 0 OR 1 0 80 3 40 x y dx dy 0 64 0 y 0 64 1 c 1 3 40 x y dx dy 1 25 y Find P X Y 1 y 1 x and y x 2 x 5 1 2 x2 3 40 x y dy dx 5 1 1 x 1 P X Y 1 2 d 509 75 5 0 9808 6 2 Find the marginal probability density function of X f X x x2 f X x 40 x y 0 3 dy 10 x 9 0 x 1 e Find the marginal probability density function of Y f Y y 1 40 x y f Y y 3 dx 20 y 3 20 y 4 0 y 1 y f Find E X E Y E X Y 1 E X x 10 x 9 dx 10 11 0 1 E Y y 20 y 3 20 y 4 dy 0 20 20 2 5 6 3 1 x2 OR 1 8 2 3 E Y y 40 x y dy dx 8 x 11 dx 12 3 0 0 0 OR Y has Beta distribution with 4 2 E Y 4 2 4 2 3 1 x2 1 8 3 E X Y x y 40 x y dy dx 8 x 12 dx 13 0 0 0 Sneak preview of 4 2 g Find Cov X Y Cov X Y E X Y E X E Y 8 10 2 4 0 009324 13 11 3 429
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