PONTIFICIA UNIVERSIDAD CAT´OLICA DE CHILEFacultad de Matem´aticaProfesora: Vania Ram´ırezAyudante: Niki Hamidi - [email protected] semestre 2019MAT1620-7 C´alculo IIAyudant´ıa 51. Determine el radio e intervalo de convergencia de cada una de las siguientes series.a)∞Xn=1(x − 2)nn2+ 1b)∞Xn=1n(x + 1)n4nc)∞Xn=1n!(2x − 1)n2. Determine la representaci´on en serie de potencias as´ı como el respectivo intervalo deconvergencia para las siguientes funciones.a) f(x) =23 − xb) f(x) =x2x2+ 1c) f(x) =3x2− x − 2Hint: Use descomposici´on en fracciones parciales de la expresi´on.3. a) Utilice las propiedades relativas a la derivada para obtener la representaci´on en seriede potencias def(x) =1(1 + x)2b) Utilice lo anterior para obtener la representaci´on en serie de potencias def(x) =x2(1 + x)34. Encuentre la serie de Taylor alrededor de a para las siguientes funciones. Adem´as, indiqueel radio de convergencia.a) f(x) = cos(x) ; a =π31b) f(x) = sin2(x) ; a = 05. Calcule la suma de la serie.a)∞Xn=0(−1)nπ2n62n(2n)!b) 1 − ln(2) +ln(2)22!−ln(2)33!+ . . .c)∞Xn=03n5nn!PropuestosI. Encuentre la serie de potencias, el radio e intervalo de convergencia de f (x) = arctan(x3).II. Encuentre la serie de Maclaurin para f(x) =1(2 + x)3.III. Encuentre la serie de Taylor para las siguientes funciones. Adem´as, indique el radio eintervalo de convergencia.a) f(x) = ln(x)b) f(x) = ex2IV. Calcule l´ımx→0sin(x) − x