MATH 132 FINAL EXAM (solutions) 132F12.4sol.11) Use substitution to evaluate tan'0/41$ #ÐBÑ † =/- ÐBÑ .BEÑ ! FÑ !Þ"& GÑ !Þ#& HÑ !Þ$& IÑ !Þ%& J Ñ !Þ&& KÑ !Þ'& LÑ !Þ(& Ñ !Þ)& N Ñ " Isolution: (? œ >+8ÐBÑß .? œ =/- ÐBÑ .BÑ œ ? .? œ l œ Þ ÐGÑ# $!"? "% %'%"!--------------------------------------------------------------------------------------------2) Use integration by parts to evaluate '1eB 68ÐBÑ .BÞ#EÑ%Þ!) FÑ%Þ"' GÑ%Þ#) HÑ%Þ$% IÑ %Þ%# J Ñ %Þ&( KÑ %Þ'* LÑ %Þ(% MÑ %Þ)# N Ñ %Þ*$ solution: Ð? œ 68ÐBÑß .@ œ B .Bß .? œ .Bß @ œ B Ñ œ B 68ÐBÑ ' B .B œ# $ $ #" " " "B $ $ $'" " / / " #/ ("$ * $ * * *$ $B 68ÐBÑ ' B l œ Ð ' Ñ ' Ð ' Ñ œ µ %Þ&(Þ ÐJ Ñ/"$ $ $-----------------------------------------------------------------------------------------------3) Using partial fractions, find a solution to ''"B 'B2.BÞ ÐB * "ÑA) 2 1 B) C) D) E) +<->+8Ð B ' Ñ ÐB ' BÑ 68ÐB ' BÑ 68ÐBÑ ( 68ÐB ' "Ñ 68Ð Ñ2 2'#BB'"F) G) 68ÐBÑ 68ÐB'"Ñ68ÐB'"Ñ ' B'" B B 68ÐB'"ÑB B " B68Ð Ñ ( B LÑ 68Ð Ñ ' MÑ N Ñx 1##solution: = partial fractions)'" " BB B'" B'"' .B Ð œ 68ÐBÑ ' 68ÐB ' "Ñ œ 68Ð ÑÞ ÐIÑ------------------------------------------------------------------------------------------------4) Find what becomes of the integral when you make the substitution'B*'B##È.Bß B œ $ =38Ð Ñß ' - - Þ) )1 1# #A) B) C) D) E) $ =38Ð Ñ . $ -9=Ð Ñ . . . $ =/- Ð Ñ .' ' ' ' ') ) ) ) ) ) ) )* *=38Ð Ñ -9=Ð Ñ#) )F) G) H) I) $ -=- Ð Ñ . * =38 Ð Ñ . * -9= Ð Ñ . * ' =38 Ð Ñ .' ' ' 'È# # ##) ) ) ) ) ) ) )J) 'È* ' -9= Ð Ñ .#) )solution: (B œ $ =38Ð Ñß .B œ $ -9=Ð Ñ . Ñ œ $ -9=Ð Ñ . œ) ) ) ) )'* =38 Ð Ñ*'* =38 Ð Ñ##))È' '* =38 Ð Ñ$ -9=Ð Ñ##))$ -9=Ð Ñ . œ * =38 Ð Ñ . Þ ÐKÑ) ) ) )------------------------------------------------------------------------------------------------5)Find the of the region enclosed by the curve and the line 2 2area C œ # ' B C œ ' BÞ#EÑ " FÑ GÑ HÑ IÑ J Ñ KÑ LÑ MÑ N Ñ " $ % ( & "" * "% "$# # $ & $ & # $ &solution: intersection points).# ' B œ # ' #B Ê B œ #B Ê B œ ! +8. B œ # Ð# # E œ Ð # ' B Ñ ' Ð# ' #BÑ .B œ #B ' B .B œ B ' l œ Þ ÐHÑ' '! !# ## # #B %$ $$#!132F12.4sol.26) Find the of the solid obtained by the region enclosed by the curvevolume rotating the lines and the -axis, about the .B œ ß C œ "ß C œ %ß C#Cy-axisEÑ FÑ GÑ HÑ IÑ J Ñ KÑ # LÑ MÑ $ N Ñ1 1 1 1 1 1 1% % % % # % $$ & ( * % 1 1 19solution: Z œ Ð Ñ .C œ .C œ Ð ' Ñ l œ $ Þ ÐMÑ1 1 1 1' '" "% %# % %C C C##%"---------------------------------------------------------------------------------------------7) Find the of the curve .arc length B œ C ß ! Ÿ C Ÿ $#$$/2EÑ FÑ GÑ HÑ IÑ Ñ KÑ LÑ MÑ4 8 14 203 2$ $ # # $ # $ #$ ( * "! "" "( F J) solution: .B .B # "%.C .C $ $#!$œ C ß Ð Ñ œ C Þ P œ " ( C .C œ Ð" ( CÑ l œ Þ ÐGÑ" $# #$!'È-------------------------------------------------------------------------------------------------8) Find the value of the improper integral , if it converges.'0∞BÐB (#Ñ# #.BEÑ IÑ J Ñ KÑ LÑ Ñ N Ñ .3@/<1/=0 B) 2 C) 4 D) 6 8 I" " " #' % $ $solution: (? œ B ( #ß .? œ #B .BÑ œ .? œ ' l œ Þ ÐKÑ#" " " "# ? #? %#∞'#∞#------------------------------------------------------------------------------------------------9) Find the solution to the initial value differential equation .C.>#œ > Cß CÐ!Ñ œ #ÞEÑ C œ # / FÑ C œ # / GÑ C œ # / HÑ C œ Ð> ( #Ñ> Î# $> > Î$ ## # $ ÈIÑ C œ 68Ð> ( "Ñ ( # J Ñ C œ # 68Ð> ( /Ñ KÑ C œ Ð> ( "Ñ ( ## '# LÑ C œ Ð> ( #Ñ MÑ C œ > ( N Ñ C œ > ( % #"#Èsolution: ' '" "C $# $ > Î$ G.C œ > .> Ê 68ÐCÑ œ > ( G Ê C œ O/ ÐO œ / ÑÞ$CÐ!Ñ œ # Ê # œ O/ œ O Ê C œ # / Þ ÐGÑ! > Î$$-----------------------------------------------------------------------------------------------1 ) Find the sum of the infinite series ! Þ 8œ"∞# ' "$88EÑ FÑ GÑ HÑ IÑ J Ñ KÑ LÑ MÑ N Ñ& & $ * " & # " " ## & & $ # &3 4 2 4 solution: œ 8œ" 8œ"∞ ∞# " " $$ $ # ##Î$ "Î$"' "'88 8# "$ $' œ ' œ # ' œ Þ ÐGÑ"$# "#Þ% Þf sol 3" Ñ Ð ' "Ñ Þ1 Approximate the sum with an error of less than 2 x 10 8œ!∞8 '"8x3EÑ !Þ FÑ !Þ GÑ !Þ HÑ !Þ IÑ !Þ J Ñ !Þ KÑ !Þ367 371 384 396 408 414 429LÑ !Þ MÑ !Þ N Ñ !Þ437 4458 452solution: œ " ' " ( ' ( ' ( ' ÞÞÞÞÞÞ Þ œ Þ!!)$ * ß" " " " " " "#x $x %x &x 'x &x &!!" " " " " "'x &!! #x $x %x &xœ Þ!!"$)) - Þ œ ' ( ' µ !Þ$'(Þ ÐEÑ Approx -------------------------------------------------------------------------------------------12) Find the complete (either absolute or conditional) of theinterval of convergence power series 8œ"∞# ÐB'%Ñ8†$8 88ÞA) ) & "" & "" & "" & "" $ "$# # # # # # # # # #- B - FÑ Ÿ B - GÑ - B Ÿ HÑ Ÿ B Ÿ I - B -J Ñ Ÿ B - KÑ - B Ÿ LÑ Ÿ B Ÿ MÑ ' ∞ - B - ∞ N Ñ Ö%×$ "$ $ "$ $ "$# # # # # # solution: Ratio Test : # lB'%lÐ8("Ñ $ # lB'%l 8(" $ $8 $ 8 # #8(" 8("8(" 8 88œ Ð ÑÐ ÑlB ' %l p lB ' %l - " ÊlB ' %l - Ê - B - Þ ÐB œ Ñ œ$ & "" "" "# # # # 8†$ 88œ" 8œ"∞ ∞# Ð ÑEndpoints: (diverges) ; 8 8$#8 (x= (converges). Therefore interval is . (B)& " & ""# 8†$ 8 # #8œ" 8œ"∞ ∞# Ð' Ñ8Ñ œ Ð ' "Ñ Ÿ B - 8 8$#8----------------------------------------------------------------------------------------------------13) Find the Taylor polynomial of order for at .# 0ÐBÑ œ B œ ""BEÑ" ( ÐB ' "Ñ ( ÐB ' "Ñ FÑ" ' ÐB ' "Ñ ( ÐB ' "Ñ " ( ÐB ' "Ñ ' …
View Full Document
Unlocking...