MATH 132 FINAL EXAM SOLUTIONS F13M132.4sol.11) Use substitution to evaluate '0ÈÈ$%BB "#.BEÑ ! FÑ " GÑ # HÑ $ IÑ % J Ñ & KÑ ' LÑ ( Ñ ) N Ñ * I solution: (? œ B "ß .B œ #B .BÑ œ # ? .? œ % ? l œ %Ð# "Ñ œ %Þ ÐIÑ# "%'" "# #%"-------------------------------------------------------------------------------------------2) Using integration by parts where'B / .B œ 0ÐBÑ Gß 0ÐBÑ œ À$BEÑ B / FÑ $ B / GÑ B / / HÑ $ B / $ / IÑ B / $ /" " " "$ $ $ $$B $B $B $B $B $B $B $B J Ñ $ B / / KÑ B / / LÑ $ B / * / MÑ B / /$B $B $B $B $B $B $B $B" " " " "$ $ * * $ N Ñ B / /" "* $$B $B solution: ( ? œ Bß .? œ .Bß .@ œ / .Bß @ œ / Ñ œ B/ / .B œ$B $B $B $B" " "$ $ $' " "$ *$B $BB/ / GÞ ÐKÑ------------------------------------------------------------------------------------------------3) Using partial fractions, find a solution to '" " $(3x 1) (3x+1).BÞ ÐB $ ÑA) B) C) D) E) " $B" " $B" " $B" " $B" " $B"# $B" $B" $B" # $B" $B"68Ð Ñ 68Ð Ñ 68Ð Ñ 68Ð Ñ 68Ð Ñ3 6 3F) G) " $B" " "$B" #6 368Ð Ñ 68ÒÐ$B "ÑÐ$B "ÑÓ LÑ 68ÒÐ$B "ÑÐ$B "ÑÓMÑ 68ÒÐ$B "ÑÐ$B "ÑÓ N Ñ / ‡ /"$B" $B"6solution: ' '" " " ' '"Î# "Î#(3x 1) (3x+1) (3x 1) (3x+1).B œ Ð Ñ .B œ 68Ð$B "Ñ 68Ð$B "Ñ œ" $B"' $B"68Ð Ñ GÞ ÐGÑ-------------------------------------------------------------------------------------------------4) Find what becomes of the integral when you make the substitution'#(ÐB *Ñ# #.Bß B œ $ >+8Ð Ñß ! - - Þ) )1#A) B) C) D) E) ' ' ' ' '=38Ð Ñ . -9=Ð Ñ . . . =/- Ð Ñ .) ) ) ) ) ) ) )" "=38Ð Ñ -9=Ð Ñ#) )F) G) H) I) ' ' ' '-=- Ð Ñ . =38 Ð Ñ . -9= Ð Ñ . Ð>+8 Ð Ñ *Ñ .# # # #) ) ) ) ) ) ) )J) 'Ð=/- Ð Ñ *Ñ .#) )solution: ( B œ $ >+8Ð Ñß .B œ $=/- Ð Ñ . Ñ œ œ) ) )##(† $=/- Ð Ñ .Ð* >+8 Ð Ñ*Ñ'## #) )) ' ' '#(Ð $=/- Ð Ñ Ñ .=/- Ð Ñ =/- Ð Ñ"###) )) ) 81 4œ . œ -9= Ð Ñ . Þ ÐLÑ) ) )132F1 .4 .$ =96 #5) Find the of the region enclosed by the curve and the linearea C œ BÈ B œ # C Ð C œ BÑ Þ"#EÑ " FÑ GÑ HÑ IÑ J Ñ KÑ LÑ MÑ N Ñ " $ % ( & "" * "% "$# # $ & $ & # $ &solution: Intersection points and is always top, andÐ!ß !Ñ Ð%ß #Ñ Þ C œ B C œ BÈ"# always bottom . E œ Ð B BÑ .B œ B B l œ % œ Þ ÐHÑ'!%" # " "' %# $ % $ $#" $# #%!-----------------------------------------------------------------------------------------6) Find the of the solid obtained by the region enclosed by the curvevolume rotating and the lines 2 and x 0 about the .C œ # B ß C œ ß œÈx-axisEÑ FÑ GÑ HÑ IÑ J Ñ KÑ # LÑ Ñ $ N Ñ1 1 1 1 1 1 1% % % % # % $$ & ( * % I 1 1 19solution: and 2 intersect at and .Using the washerC œ # B C œ Ð!ß !Ñ Ð"ß #ÑÈ method we get Z œ Ð% %BÑ .B œ Ð%B #B Ñ l œ # Þ ÐKÑ1 1 1'!"#"!---------------------------------------------------------------------------------------7) Find the of the curve , to 2 decimal places.arc length B œ # C ! Ÿ C Ÿ " ß$Î#EÑ FÑ Ñ HÑ IÑ J Ñ KÑ LÑ MÑ1.57 1.94 C 2.27 2.84 3.45 3.92 4.46 4.84 5.17 J) 5.68solution: .B .B.C .C#!"œ $ C Ê Ð Ñ œ *C Ê P œ " *C .C"#'È Ð? œ " *Cß .? œ * .CÑ œ ? .? œ ? l œ" " #* * $""!$Î#'"#"!" ##($Î#Ð"! "Ñ œ #Þ#')$&% µ #Þ#(Þ ÐGÑ--------------------------------------------------------------------------------------------8) Find the value of the improper integral , if it converges.'0111B.BEÑ IÑ J Ñ KÑ LÑ MÑ N Ñ .3@/<1/=0 B) 2 C) 4 D) 6 8 " / " #// % $/ $solution: œ Ð 68Ð" BÑ Ñ œ 68Ð" ,Ñ œ ∞ ß .3@/<1/=Þ ÐN Ñlim lim,Ä" ,Ä",!-------------------------------------------------------------------------------------------9) Find the solution to the differential equation with initial condition.C.# tyœ $> / ßCÐ!Ñ œ 68Ð#ÑÞEÑ C œ # / FÑ C œ # / GÑ C œ # / HÑ C œ 68 Ð> Ñ 68Ð#Ñ> Î# $> > Î$ $# # $ IÑ C œ 68Ð> #Ñ J Ñ C œ # 68Ð> /Ñ KÑ C œ Ð> "Ñ # LÑ C œ Ð> #Ñ$ $ # MÑ C œ > N Ñ C œ > %#"# Èsolution: Initial condition is ' '/ .C œ $> .> G Ê / œ > GÞ > œ !ß C œ 68Ð#ÑC # C $so and we get / œ G Ê G œ # / œ > # Ê C œ 68Ð> #ÑÞ ÐIÑ68Ð#Ñ C $ $132F1 .4 .$ =96 $1 ) Find the sum of the infinite series ! Ð ÑÞ 8œ"∞& "# $8 8EÑ FÑ GÑ HÑ IÑ J Ñ KÑ LÑ MÑ N Ñ& & $ * " & # " " ## # & $ # &3 4 2 4 solution: œ 8œ" 8œ"∞ ∞& " " *# $ # #&Î# "Î$" "8 8" "# $ œ œ & œ Þ ÐHÑ------------------------------------------------------------------------------------" Ñ Ð "Ñ1 Using the fewest terms possible, approximate the sum with an 8œ"∞8"88 "# error of less than !Þ#& ÞEÑ "Î$ FÑ #Î$ GÑ "Î% HÑ "Î# IÑ $Î% Ñ "Î& KÑ #Î& LÑ $Î& MÑ %Î& N Ñ " F solution: and , 8œ"∞8"8 " # $ % % $8 " # & "! "( "( "!Ð "Ñ œ ÞÞÞ - !Þ#& $ !Þ#&#Þ so approximation will be the first 3 terms, " # $ % ## & "! "! & œ œ Þ ÐKÑ------------------------------------------------------------------------------------------------12) Find the complete (either absolute or conditional) of theinterval of convergence power series 8œ"∞ÐB#Ñ8†#(-1)8" 88ÞA) # - B - # FÑ # Ÿ B - # GÑ # - B Ÿ # HÑ # Ÿ B Ÿ #I % - B - ! J Ñ % Ÿ B - ! KÑ % - B Ÿ ! LÑ % Ÿ B Ÿ !) MÑ Ö!× N Ñ Ö #× solution: Ratio test lÐB#Ñl lB#lÐ8"Ñ # lÐB#Ñl # 8" #8 # " …
View Full Document