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Cartesian productCartesianCartesianproductproductTechnische Universität DresdenTechnische Universität DresdenLehrstuhl für StatikLehrstuhl für Statikn21A~...A~A~K~×××=[][]⎭⎬⎫⎩⎨⎧=µ=µ∈µ=µ==n;...;1i;)x(min)x(;Xx )x;...;x;x()x();x;...;x;x(xK~iAiKiin21KKn21Fuzzy setsµA1(x1)µA2(x2)Fuzzy set A1~Fuzzy set A2~1,00,0x11,00,0x2µK(x)1,00,0x1x2K = A1H A2~~~Extension principleExtension Extension principleprincipleTechnische Universität DresdenTechnische Universität DresdenLehrstuhl für StatikLehrstuhl für Statik(){}n1n1n1BX...X)x;...;x(;Zz );x;...;f(xz )z(;zB~××∈∈=µ=Fuzzy input setsCartesian productµK(x)1,00,0x1x2K = A1H A2~~~1n11 n n 1 nz f(x ;...;x )sup min [ (x );...; (x )], if z f(x ;...;x )()0 otherwiseBzµµµ=∃=⎧⎪=⎨⎪⎩ZB~ ;X...XK~ B~K~n1⊆××⊆→Fuzzy result setA1~A2~µB(z)1,00,0zExtension principle - exampleExtension Extension principleprinciple--exampleexampleTechnische Universität DresdenTechnische Universität DresdenLehrstuhl für StatikLehrstuhl für StatikFuzzy input sets (discrete)x1:(x1)x2:(x2)1,00,80,70,00,20,31,00,90,80,60,00,10,23456789 1213141516171819200,1 Fuzzy set x1 = A1~ Fuzzy set x2 = A2~~~12 1 2zf(x;x)3x x 5==⋅−+(20; 0,1)(20; 0,1)(19; 0,2)(19; 0,2)(18; 0,8)(18; 0,8)(17; 0,9)(17; 0,9)(16; 1,0)(16; 1,0)(15; 0,6)(15; 0,6)(14; 0,6)(14; 0,6)(13; 0,1)(13; 0,1)(2; 0,1)(2; 0,1)(12; 0,1)(12; 0,1)(9; 0,1)(9; 0,1)(8; 0,2)(8; 0,2)(7; 0,7)(7; 0,7)(6; 1,0)(6; 1,0)(5; 0,8)(5; 0,8)(4; 0,3)(4; 0,3)(3; 0,1)(3; 0,1)Extension principle - exampleExtension Extension principleprinciple--exampleexampleTechnische Universität DresdenTechnische Universität DresdenLehrstuhl für StatikLehrstuhl für StatikFuzzy input setsx1:(x1)x2:(x2)1,00,80,70,00,20,31,00,90,80,60,00,10,23456789 1213141516171819200,1 Fuzzy set x1 = A1~ Fuzzy set x2 = A2~~~12 1 2zf(x;x)3x x 5==⋅−+(12; 0,1)(12; 0,1)(9; 0,1)(9; 0,1)(6; 0,1)(6; 0,1)(3; 0,1)(3; 0,1)(0; 0,1)(0; 0,1)((--3; 0,1)3; 0,1)((--6; 0,1)6; 0,1)(20; 0,1)(20; 0,1)(13; 0,1)(13; 0,1)(10; 0,2)(10; 0,2)(7; 0,2)(7; 0,2)(4; 0,2)(4; 0,2)(1; 0,2)(1; 0,2)((--2; 0,2)2; 0,2)((--5; 0,1)5; 0,1)(19; 0,2)(19; 0,2)(14; 0,1)(14; 0,1)(11; 0,2)(11; 0,2)(8; 0,7)(8; 0,7)(5; 0,8)(5; 0,8)(2; 0,8)(2; 0,8)((--1; 0,3)1; 0,3)((--4; 0,1)4; 0,1)(18; 0,8)(18; 0,8)(15; 0,1)(15; 0,1)(12; 0,2)(12; 0,2)(9; 0,7)(9; 0,7)(6; 0,9)(6; 0,9)(3; 0,8)(3; 0,8)(0; 0,3)(0; 0,3)((--3; 0,1)3; 0,1)(17; 0,9)(17; 0,9)(16; 0,1)(16; 0,1)(13; 0,2)(13; 0,2)(10; 0,7)(10; 0,7)(7; 1,0)(7; 1,0)(4; 0,8)(4; 0,8)(1; 0,3)(1; 0,3)((--2; 0,1)2; 0,1)(16; 1,0)(16; 1,0)(17; 0,1)(17; 0,1)(14; 0,2)(14; 0,2)(11; 0,6)(11; 0,6)(8; 0,6)(8; 0,6)(5; 0,6)(5; 0,6)(2; 0,3)(2; 0,3)((--1; 0,1)1; 0,1)(15; 0,6)(15; 0,6)(18; 0,1)(18; 0,1)(15; 0,2)(15; 0,2)(12; 0,6)(12; 0,6)(9; 0,6)(9; 0,6)(6; 0,6)(6; 0,6)(3; 0,3)(3; 0,3)(0; 0,1)(0; 0,1)(14; 0,6)(14; 0,6)(19; 0,1)(19; 0,1)(16; 0,1)(16; 0,1)(13; 0,1)(13; 0,1)(10; 0,1)(10; 0,1)(7; 0,1)(7; 0,1)(4; 0,1)(4; 0,1)(1; 0,1)(1; 0,1)(13; 0,1)(13; 0,1)(20; 0,1)(20; 0,1)(17; 0,1)(17; 0,1)(14; 0,1)(14; 0,1)(11; 0,1)(11; 0,1)(8; 0,1)(8; 0,1)(5; 0,1)(5; 0,1)(2; 0,1)(2; 0,1)(12; 0,1)(12; 0,1)(9; 0,1)(9; 0,1)(8; 0,2)(8; 0,2)(7; 0,7)(7; 0,7)(6; 1,0)(6; 1,0)(5; 0,8)(5; 0,8)(4; 0,3)(4; 0,3)(3; 0,1)(3; 0,1)Extension principle - exampleExtension Extension principleprinciple--exampleexampleTechnische Universität DresdenTechnische Universität DresdenLehrstuhl für StatikLehrstuhl für StatikFuzzy result set(12; 0,1)(12; 0,1)(9; 0,1)(9; 0,1)(6; 0,1)(6; 0,1)(3; 0,1)(3; 0,1)(0; 0,1)(0; 0,1)((--3; 0,1)3; 0,1)((--6; 0,1)6; 0,1)(20; 0,1)(20; 0,1)(13; 0,1)(13; 0,1)(10; 0,2)(10; 0,2)(7; 0,2)(7; 0,2)(4; 0,2)(4; 0,2)(1; 0,2)(1; 0,2)((--2; 0,2)2; 0,2)((--5; 0,1)5; 0,1)(19; 0,2)(19; 0,2)(14; 0,1)(14; 0,1)(11; 0,2)(11; 0,2)(8; 0,7)(8; 0,7)(5; 0,8)(5; 0,8)(2; 0,8)(2; 0,8)((--1; 0,3)1; 0,3)((--4; 0,1)4; 0,1)(18; 0,8)(18; 0,8)(15; 0,1)(15; 0,1)(12; 0,2)(12; 0,2)(9; 0,7)(9; 0,7)(6; 0,9)(6; 0,9)(3; 0,8)(3; 0,8)(0; 0,3)(0; 0,3)((--3; 0,1)3; 0,1)(17; 0,9)(17; 0,9)(16; 0,1)(16; 0,1)(13; 0,2)(13; 0,2)(10; 0,7)(10; 0,7)(7; 1,0)(7; 1,0)(4; 0,8)(4; 0,8)(1; 0,3)(1; 0,3)((--2; 0,1)2; 0,1)(16; 1,0)(16; 1,0)(17; 0,1)(17; 0,1)(14; 0,2)(14; 0,2)(11; 0,6)(11; 0,6)(8; 0,6)(8; 0,6)(5; 0,6)(5; 0,6)(2; 0,3)(2; 0,3)((--1; 0,1)1; 0,1)(15; 0,6)(15; 0,6)(18; 0,1)(18; 0,1)(15; 0,2)(15; 0,2)(12; 0,6)(12; 0,6)(9; 0,6)(9; 0,6)(6; 0,6)(6; 0,6)(3; 0,3)(3; 0,3)(0; 0,1)(0; 0,1)(14; 0,6)(14; 0,6)(19; 0,1)(19; 0,1)(16; 0,1)(16; 0,1)(13; 0,1)(13; 0,1)(10; 0,1)(10; 0,1)(7; 0,1)(7; 0,1)(4; 0,1)(4; 0,1)(1; 0,1)(1; 0,1)(13; 0,1)(13; 0,1)(20; 0,1)(20; 0,1)(17; 0,1)(17; 0,1)(14; 0,1)(14; 0,1)(11; 0,1)(11; 0,1)(8; 0,1)(8; 0,1)(5; 0,1)(5; 0,1)(2; 0,1)(2; 0,1)(12; 0,1)(12; 0,1)(9; 0,1)(9; 0,1)(8; 0,2)(8; 0,2)(7; 0,7)(7; 0,7)(6; 1,0)(6; 1,0)(5; 0,8)(5; 0,8)(4; 0,3)(4; 0,3)(3; 0,1)(3; 0,1)z:B(z)1,00,80,70,30,6-6 4567891213141516171819200,9-4 -2 0 2 101131-3 -1-5 Fuzzy result set z = B~~Extension principle - exampleExtension Extension principleprinciple--exampleexamplefuzzy input values x1und x2 (continuous)~~µ(x1) µ(x2)1.01.0-13 -5 02x1-12 -4 0 4 x2mapping operator65 x3 x13x x48 x17x)x;f(xz222321213121++++++==z420-1224x2x1Dresden University of TechnologyDresden University of TechnologyInstitute of Institute of StructuralStructuralAnalysisAnalysisFunction about the supportExtension principle - exampleExtension Extension principleprinciple--exampleexamplenumerical procedure to compute the fuzzy result- discretization of the support of all fuzzy input values- generation of all combinations of discretized elements- determination of the membership values using the min operator- computation of the results from all element combinationsusing the mapping operator- determination of the membership values of the resultelements by applying the max operator- generation of the membership function for the fuzzy resultfuzzy result value z~0.2742.570 5.859 zµ(z)exact solutionapproximationby smoothingnumerical result(1023 combinations)1.00.00.40.80.60.2problems: tremendous high numerical effortexactness of the resultDresden University of TechnologyDresden University of TechnologyInstitute of Institute of


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