Inference for Means November 14, 20061INFERENCE ABOUT MEANSDistribution of Sample Means0 5 10 15Percent40 50 60 70Mean of Feeling Thermometer: Bush35.394.54==XσμThe Distribution of the MeanInference for Means November 14, 20062Interval Estimate for μ()95.96.196.1 =−>>+XXXXPσμσwhere:nXXσσ=When Do We Know σ?Proportion:)1( pp −⋅=σBinomial distribution:)1( ppn −⋅⋅=σUniform distribution:()122minmax −=σEstimating σ2()22211ˆsnSSDnXXx=−=−−=∑σ22)(σ=sEbecausenssXX==σˆInference for Means November 14, 20063What Distribution?)1,0(~ nornXXXσμσμ−=−?~nsXsXXμμ−=−Chi square and t distributions222212)(...ννχZZZ +++=Chi Square:νχνν2)()(Zt =t distribution:Student’s tnsXsnXsnXnsnnXtμμσσμσσμ−=−=−=−−−=1)1()1(222)1(22~)1(−−nsnχσInference for Means November 14, 20064t Distributions-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5Last is df=1,000t interval()95.,025.,025.=+≤≤−XXstXstXPννμ 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.090.0 0.5000 0.4960 0.4920 0.4880 0.4840 0.4801 0.4761 0.4721 0.4681 0.46410.1 0.4602 0.4562 0.4522 0.4483 0.4443 0.4404 0.4364 0.4325 0.4286 0.42470.2 0.4207 0.4168 0.4129 0.4090 0.4052 0.4013 0.3974 0.3936 0.3897 0.38590.3 0.3821 0.3783 0.3745 0.3707 0.3669 0.3632 0.3594 0.3557 0.3520 0.34830.4 0.3446 0.3409 0.3372 0.3336 0.3300 0.3264 0.3228 0.3192 0.3156 0.31210.5 0.3085 0.3050 0.3015 0.2981 0.2946 0.2912 0.2877 0.2843 0.2810 0.27760.6 0.2743 0.2709 0.2676 0.2643 0.2611 0.2578 0.2546 0.2514 0.2483 0.24510.7 0.2420 0.2389 0.2358 0.2327 0.2297 0.2266 0.2236 0.2206 0.2177 0.21480.8 0.2119 0.2090 0.2061 0.2033 0.2005 0.1977 0.1949 0.1922 0.1894 0.18670.9 0.1841 0.1814 0.1788 0.1762 0.1736 0.1711 0.1685 0.1660 0.1635 0.16111.0 0.1587 0.1562 0.1539 0.1515 0.1492 0.1469 0.1446 0.1423 0.1401 0.13791.1 0.1357 0.1335 0.1314 0.1292 0.1271 0.1251 0.1230 0.1210 0.1190 0.11701.2 0.1151 0.1131 0.1112 0.1093 0.1075 0.1056 0.1038 0.1020 0.1003 0.09851.3 0.0968 0.0951 0.0934 0.0918 0.0901 0.0885 0.0869 0.0853 0.0838 0.08231.4 0.0808 0.0793 0.0778 0.0764 0.0749 0.0735 0.0721 0.0708 0.0694 0.06811.5 0.0668 0.0655 0.0643 0.0630 0.0618 0.0606 0.0594 0.0582 0.0571 0.05591.6 0.0548 0.0537 0.0526 0.0516 0.0505 0.0495 0.0485 0.0475 0.0465 0.04551.7 0.0446 0.0436 0.0427 0.0418 0.0409 0.0401 0.0392 0.0384 0.0375 0.03671.8 0.0359 0.0351 0.0344 0.0336 0.0329 0.0322 0.0314 0.0307 0.0301 0.02941.9 0.0287 0.0281 0.0274 0.0268 0.0262 0.0256 0.0250 0.0244 0.0239 0.02332.0 0.0228 0.0222 0.0217 0.0212 0.0207 0.0202 0.0197 0.0192 0.0188 0.0183t tablesdf=1 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.090.0 0.5000 0.4968 0.4936 0.4905 0.4873 0.4841 0.4809 0.4778 0.4746 0.47140.1 0.4683 0.4651 0.4620 0.4589 0.4557 0.4526 0.4495 0.4464 0.4433 0.44020.2 0.4372 0.4341 0.4311 0.4280 0.4250 0.4220 0.4190 0.4161 0.4131 0.41020.3 0.4072 0.4043 0.4014 0.3985 0.3957 0.3928 0.3900 0.3872 0.3844 0.38160.4 0.3789 0.3761 0.3734 0.3707 0.3681 0.3654 0.3628 0.3601 0.3575 0.35500.5 0.3524 0.3499 0.3474 0.3449 0.3424 0.3399 0.3375 0.3351 0.3327 0.33030.6 0.3280 0.3256 0.3233 0.3211 0.3188 0.3165 0.3143 0.3121 0.3099 0.30770.7 0.3056 0.3035 0.3014 0.2993 0.2972 0.2952 0.2931 0.2911 0.2891 0.28720.8 0.2852 0.2833 0.2814 0.2795 0.2776 0.2758 0.2739 0.2721 0.2703 0.26850.9 0.2667 0.2650 0.2633 0.2615 0.2598 0.2582 0.2565 0.2548 0.2532 0.25161.0 0.2500 0.2484 0.2468 0.2453 0.2438 0.2422 0.2407 0.2392 0.2378 0.23631.1 0.2349 0.2334 0.2320 0.2306 0.2292 0.2278 0.2265 0.2251 0.2238 0.22251.2 0.2211 0.2198 0.2186 0.2173 0.2160 0.2148 0.2135 0.2123 0.2111 0.20991.3 0.2087 0.2075 0.2064 0.2052 0.2041 0.2029 0.2018 0.2007 0.1996 0.19851.4 0.1974 0.1964 0.1953 0.1943 0.1932 0.1922 0.1912 0.1901 0.1891 0.18821.5 0.1872 0.1862 0.1852 0.1843 0.1833 0.1824 0.1814 0.1805 0.1796 0.17871.6 0.1778 0.1769 0.1760 0.1752 0.1743 0.1734 0.1726 0.1717 0.1709 0.17011.7 0.1693 0.1684 0.1676 0.1668 0.1660 0.1652 0.1645 0.1637 0.1629 0.16221.8 0.1614 0.1607 0.1599 0.1592 0.1585 0.1577 0.1570 0.1563 0.1556 0.15491.9 0.1542 0.1535 0.1528 0.1522 0.1515 0.1508 0.1502 0.1495 0.1489 0.14822.0 0.1476 0.1469 0.1463 0.1457 0.1451 0.1445 0.1439 0.1432 0.1426 0.1421df=2 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.090.0 0.5000 0.4965 0.4929 0.4894 0.4859 0.4823 0.4788 0.4753 0.4718 0.46820.1 0.4647 0.4612 0.4577 0.4542 0.4507 0.4473 0.4438 0.4403 0.4369 0.43340.2 0.4300 0.4266 0.4231 0.4197 0.4163 0.4130 0.4096 0.4062 0.4029 0.39960.3 0.3962 0.3929 0.3897 0.3864 0.3831 0.3799 0.3767 0.3734 0.3703 0.36710.4 0.3639 0.3608 0.3577 0.3545 0.3515 0.3484 0.3453 0.3423 0.3393 0.33630.5 0.3333 0.3304 0.3274 0.3245 0.3216 0.3188 0.3159 0.3131 0.3103 0.30750.6 0.3047 0.3020 0.2992 0.2965 0.2939 0.2912 0.2885 0.2859 0.2833 0.28080.7 0.2782 0.2757 0.2731 0.2707 0.2682 0.2657 0.2633 0.2609 0.2585 0.25620.8 0.2538 0.2515 0.2492 0.2469 0.2447 0.2424 0.2402 0.2380 0.2358 0.23370.9 0.2316 0.2294 0.2273 0.2253 0.2232 0.2212 0.2192 0.2172 0.2152 0.21331.0 0.2113 0.2094 0.2075 0.2056 0.2038 0.2019 0.2001 0.1983 0.1965 0.19481.1 0.1930 0.1913 0.1896 0.1879 0.1862 0.1845 0.1829 0.1813 0.1797 0.17811.2 0.1765 0.1749 0.1734 0.1719 0.1704 0.1689 0.1674 0.1659 0.1645 0.16301.3 0.1616 0.1602 0.1588 0.1575 0.1561 0.1548 0.1534 0.1521 0.1508 0.14951.4 0.1482 0.1470 0.1457 0.1445 0.1433 0.1421 0.1409 0.1397 0.1385 0.13731.5 0.1362 0.1351 0.1339 0.1328 0.1317 0.1306 0.1296 0.1285 0.1274 0.12641.6 0.1254 0.1243 0.1233 0.1223 0.1213 0.1204 0.1194 0.1184 0.1175 0.11651.7 0.1156 0.1147 0.1138 0.1129 0.1120 0.1111 0.1102 0.1094 0.1085 0.10771.8 0.1068 0.1060 0.1052 0.1044 0.1036 0.1028 0.1020 0.1012 0.1004 0.09971.9 0.0989 0.0982 0.0974 0.0967 0.0960 0.0952 0.0945 0.0938 0.0931 0.09242.0 0.0918 0.0911 0.0904 0.0897 0.0891 0.0884 0.0878 0.0872 0.0865 0.0859df=100.000.010.020.030.040.050.060.070.080.090.0 0.5000 0.4961 0.4922 0.4883 0.4844 0.4806 0.4767 0.4728 0.4689 0.46500.1 0.4612 0.4573 0.4534 0.4496 0.4457 0.4419 0.4380 0.4342 0.4304 0.42660.2 0.4227 0.4189 0.4151 0.4114 0.4076 0.4038 0.4001 0.3963 0.3926 0.38890.3 0.3852 0.3815 0.3778 0.3741 0.3704 0.3668 0.3632 0.3595 0.3559 0.35240.4 0.3488 0.3452 0.3417 0.3382 0.3346 0.3312 0.3277 0.3242 0.3208 0.31740.5 0.3139 0.3106 0.3072 0.3038 0.3005 0.2972 0.2939 0.2906 0.2874 0.28410.6 0.2809 0.2777 0.2746 0.2714 0.2683 0.2652 0.2621 0.2590 0.2560 0.25290.7 0.2499 0.2470 0.2440 0.2411 0.2382 0.2353 0.2324 0.2296 0.2267 0.22390.8 0.2212 0.2184 0.2157 0.2130 0.2103 0.2076 0.2050 0.2023 0.1998 0.19720.9 0.1946 0.1921 0.1896 0.1871 0.1847 0.1823 0.1798 0.1775 0.1751 0.17281.0 0.1704